Ondas estacionarias: problema 2

Enunciado:

 Una onda viene dada por la ecuación anterior en la que x,y (m) y t(s). 
Si la x está comprendida entre 0 y 6 m, -es decir el medio tiene una longitud de 6 metros-, halla:
a. Longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación.
b. Modo de vibración y nº de nodos.
c. Posiciones de los nodos en el modo de vibración al que corresponde la ecuación.
d. ¿Cómo conseguir el resto de modos de vibración? ¿Con qué frecuencias los vamos a encontrar? ¿Serviría la ecuación anterior?
 
Solución
a.
$$k=\pi =\frac { 2\pi }{ \lambda } \rightarrow \quad \lambda =2m\\ \omega =100\pi =2\pi f\rightarrow \quad f=50Hz\\ v=\lambda f\quad =2.50\quad =\quad 100m/s$$

b.
 ¿Cuál es el modo de vibración para una cuerda de L=6 metros ?
Vamos a ver a qué armónico nos estamos refieriendo, y para ello es preciso que en esta longitud de 6 m encaje un determinado número de semilongitudes de onda. Si tenemos en cuenta que L=6m, el valor máximo que puede tomar x es 6 m. Los posibles valores que puede tomar x, nos encontramos que el extremo al que le aplicamos la condición de nodo, cumple L=xnodo

Por lo tanto,

Tendremos por lo tanto el sexto modo de vibración que se corresponde al sexto armónico que tendrá por tanto:

• 7 nodos, contando la posición inicial
• 6 vientres ( o antinodos).   Es decir, sería el siguiente modo de vibración de esta serie.

c.
Posiciones de los nodos en este modo de vibración.

La frecuencia de vibración de este modo de vibración es de 50 Hz. En nuestro caso, de una cuerda de 6 metros las posicionoes de los nodos serán : 1, 2, 3, 4, 5, y 6 metros, distantes entre sí una distancia de 1 metro (media longitud de onda)

d.
¿Cómo conseguir el resto de modos de vibración?
Antes de nada un par de aclaraciones:

a) En cualquiera de los modos de vibración, es preciso encajar un número de semilongitudes de onda en la longitud L= 6m.
* Primer armónico:
  
* Segundo armónico:
 
* Tercer armónico
 
Y así sucesivamente... 
 
a) Si deseamos encontrar otros armónicos, es preciso modificar la longitud de onda para cumplir la condición anterior, y si se modifica la longitud de onda, k también se modifica, por lo tanto la ecuación anterior NO serviría. ¿Cómo conseguir el resto de modos de vibración?

• Primer modo: Cambiando la frecuencia, sin modificar la velocidad de propagación, es decir que en el foco tendremos instalado un vibrador que permita modificar la frecuencia de vibración, para intentar así generar ondas estacionarias que cumplan la condición anterior. 
•  Segundo modo: Cambiando la velocidad de propagación (cambiamos k), sin modificar la frecuencia de vibración del oscilador (ni w). Para ello es preciso, en el caso de ondas estacionarias en cuerdas sujetas por ambos extremos, modificar la tensión de la cuerda. Ver el vídeo de la Universidad de Alicante.

Supongamos que hemos optado por el primer método. ¿Qué frecuencias permitirían encontrar el resto de armónicos?  

Por lo tanto, para una longitud L, las frecuencias que originan los modos de vibración serán:

 
 Que se corresponden con estos valores: